Aus aktuellem Anlass möchte ich heute einmal die Anzahl fixpunktfreier Permutationen einer n-elementigen Gruppe betrachten. Eine Permutation ist eine Abbildung, die jedem Element ein anderes Element aus der Gruppe zuordnet, und zwar so dass jedes Element genau einmal zugeordnet wird (also eine bijektive Abbildung). Fixpunktfrei ist so eine Permutation, wenn kein Element sich selbst zugeordnet wird.
Dieses spannende kombinatorische / stochastische Problem lässt sich umgangssprachliche in etwa folgendermaßen beschreiben:
Eine Gruppe von n Weihnachtswichteln bringt jeweils ein Geschenk mit zur Feier. Die Geschenke werden auf einen Haufen geworfen und später (rein zufällig) wieder verteilt.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Wichtel sein eigenes Geschenk bekommt?
Die Herleitung der Lösung ist für mehr als drei Wichtel garnicht mal so einfach... aber dafür haben wir ja
die Wikipedia, die uns verrät, dass wir ganz grob ab vier Wichteln von
ca. 37% sprechen können. Das ist gar nicht mal so viel...
Und überraschenderweise bleibt diese Zahl ziemlich stabil. Es ist also nicht so, dass es mit mehr Wichteln wahrscheinlicher oder unwahrscheinlicher wird!
Wenn ihr also vorhabt, an Weihnachten eure Wichtel-Geschenke blind auszuweürfeln, dann wundert euch nicht, wenn irgendein armer Wicht(el) sein eigenes Geschenk bekommt. Wenn ihr das verhindern wollt, müsst ihr noch irgendwelche Wichtelregeln einführen, so dass die Zuordnung nicht völlig zufällig geschieht.
...oder einfach ganz auf die Schenkerei verzichten. Konzentriert euch doch lieber auf einen schönen Abend im Kreis der Familie ;)
In diesem Sinne: schöne Feiertage!
- Thomas
